二、实数中循环小数意义的补充说明

从这以后的连载系列内容都来自本人在百度帖吧的帖子。原帖地址:
http://tieba.baidu.com/f?kz=676219118

设a=0.33...(循环),它表示数轴上的哪一个点?我们在数轴上取这样一个线段序列:
首先,因为0<=a<=1,取第一段线段A1B1为0和1之间的线段[0,1];
然后,将A1B1十等分,看a的第一位小数,为3,那么取第二段线段A2B2为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.3,0.4]
再将A2B2十等分,看a的第二位小数,仍为3,那么取第三段线段A3B3仍然为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.33,0.34]
......
依此类推,得到一个线段序列AnBn,其中的任何一条线段都包含着下一条线段,并且随着n的增大线段长度可以达到任意小,与零无限接近。根据几何上的一些公理和性质(阿基米德公理和直线的完备性公理,其实也是实数的性质),在数轴上存在唯一一个点被所有线段覆盖,即存在唯一一个点在所有线段上,那么,0.33... (循环)就理所当然地应该表示这个点。容易证明,1/3就在所有线段上,因此0.33...(循环)就表示1/3。(从直觉上你也可以想象,如果0.33...(循环)能够表示一个点,那么它应该大于任何一个有限小数0.3333...33,而小于任何一个有限小数 0.33...34,即被我们做出的所有线段夹在中间,现在,恰好只有一个1/3就夹在中间。那么0.33...(循环)当然就表示1/3了。)
对于一般的一个正的无限小数a0.a1a2a3...,取A1B1为[a0,a0+1],将A1B1十等分,取A2B2为 [a0.a1,a0.a1+0.1],...,那么a0.a1a2a3...表示的是在所有AnBn线段上的唯一的那个点。(这里所说在线段上也包括线段的端点)

注意,0.33... (循环)应该表示的是1/3那个点,即使我们不做AnBn这些线段,0.33...(循环)表示的点依然是存在在数轴上的。0.33...(循环)既不是表示这些线段的序列,也不是表示这些线段的左端点序列,它就表示这些线段的交集:1/3那个点。那个点如果我们用3进制小数表示,只需要表示为0.1就可以了,如果用4进制小数,则表示为0.111循环,因为每次用4等分点划分线段时,它总是落在第一和第二等分点之间。

再看0.99循环这个数,依照上面的方法作出线段序列,看哪一个点在线段序列的所有线段上?显然,就是1。因此1有两种小数表示形式:1和0.999循环。因此0.999循环=1,是小数表示法的定义决定的。

上面无限小数的意义与我们通常所做的除法有什么关系呢?其实这个应该你自己去思考。这里略微提示:当1/3除不尽的时候,我们总是把余数添加一个0,而添加这个0就相当于把余数扩大为原来的十倍,这样下一位的商是什么意思呢?和我们上面讨论的把A1B1十等分有什么关系呢?
在做除法的每一步都时候,你都是得到了An,也就是得到的是上面讨论的线段的左端点,总是无法在有限的步骤里完全等于1/3,因此有人就认为无限循环小数无法准确表示1/3,但是错了,你每一步得到的只是左端点,只是个有限小数,当然无法完全等于1/3,但是0.33... (循环)却与这些左端点无关,他表示的是夹在所有An和 Bn之间的那个点,那就是1/3。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注