函数e^{x^2} 的原函数为什么“积不出来”?

在大学学过微积分或数学分析的人都知道,有些函数的原函数是“积不出来”的,即不是初等函数。大多数的分析学教材讲到这个问题的时候都只是简单提到这个结果,即没有提到如何证明,因为太复杂,又没有说想要证明这样的结论到底需要哪方面的知识。
最近我得到一份巴黎高等师范学校1995年的入学考试题,以问题和提示的形式指导考生完整地证明 \int e^{t^2}\,\mathrm d t 的非初等性,以及它的理论基础:微分域中的刘维尔(Liouville)定理。

我大一的时候就对这个问题很好奇,所以借此机会做了这份试卷并将试卷翻译成中文,把它的证明方法介绍给国内的数学爱好者。另外原题中有些印刷错误,翻译时顺便改正了。

1,做这份试卷需要两方面的基础:复变函数和抽象代数理论。要知道巴黎高师虽然是法国顶尖的数学学府,但这份试题毕竟只是针对高中毕业并上过两年大学预科的学生,学历水平相当于国内大学三年级。因此,凡是国内大学数学专业并学过这两门课的学生都可以试做这份试题。
2,考试时间是4小时,但几乎不可能在短短4小时之内把这份题完整做出来,实际选拔是按照分数高低排序的。
3,这套题中有一些关于复变函数的结论是直接被承认的,比如“复数域的某个开集上定义的所有解析函数构成一个整环”,建议读者将这样的命题也证明出来,至少要知道为什么。
4,做过这份试题之后可以思考下面几个函数,判断它们的原函数是否是初等函数:
1) \frac{e^z}{z^n}; 2) \frac{\sin z}{z^n}; 3) z\tan z; 4) z^z
提示:试题中的做法都是代数的,但有些问题用复分析的理论能更轻松地看出结论,比如上面的第一个例子,应用试题第VI部分的某结论并结合留数定理,就会迎刃而解。

PDF下载:
ENS1995-Maths-zh_CN
法语原版可以在这里找到:
http://pomux.free.fr/corriges-1995/pdf/m95lm1ea.pdf
(如果链接失效,可直接google搜索 ens 1995 maths)

今天把我在Master2时写的论文放在这里,里面包含所有这个问题的答案(法语版),仅供参考。
M1 Mémoire

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