用了半个月左右的时间粗浅地略读了《复分析，可视化方法》的前十一章，当然略去了所有加星号的内容和所有习题。整体的感觉是，四两拨千斤，比较精彩，很多以前不知道的问题现在茅塞顿开。但是有些地方的处理方式实在谈不上严格，以至于我在读到某些地方时不由得心存狐疑，他这种演绎发展数学的方式真的能有可靠的结果吗？
Daily Archives: 08/27/2010
指数函数 exp(x) 导数的直接求法
在我读高中的时候，数学课程里是没有微积分的，当时自学微积分，用的是一种很简明的数学手册，里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候，怎么也想不明白这个 \( y=e^x\) 的导数 \( y’=e^x\) 是怎么求出来的。
在当时那个信息闭塞的时代，我没有办法直接找到问题的答案，所有的证明都得依靠自己努力思考，才能使很多问题的证明在一定程度上得以补全，这其中包括指数函数求导、牛顿-莱布尼茨公式、反正切函数的泰勒展式等等，都是通过自己的思考来做出的所谓的”证明”，当然都是不严格的，但大多数只缺少其中的某个环节罢了，比如 \( \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\dots\)，当时想到了两边同时求导，只是对两个重要的环节苦思不解：幂级数逐项积分的合理性和 \( x=1\) 时怎么证明右边还等于左边。