前一篇文章用了做定积分最原始的方法——分割做和取极限的方法重新理解了\(y=1/x\)积分中自然对数的来源。本篇文章回答上一篇中提出的问题：怎样把\(y=1/x\)的积分嵌入到常规幂函数积分公式\(\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C\)中。

如果你试图从公式\(\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C\)推导\(y=1/x\)的积分，多半会失败，因为把\(a=-1\)带进去，等式右边的分母为零，分子在\(x\neq 0\)时变成了\(1\)，整个式子变得没有意义。实际上\(y=1/x\)是幂函数里唯一一个另类，它的积分非但不能简单地从普通幂函数积分公式中得出，其结果反而超越了幂函数的范围。怎样理解这样的不和谐？昨天因为写前一篇文章的缘故，头脑中闪过另外一个念头，最后竟然成功地解释通了这个困扰多年的问题。

这个解释使用幂函数求导公式
\[(x^a)’=ax^{a-1},\> x>0\]
以后的推导中我们都假定\(x>0\)，不加赘述。为了使等式右边宝贵的\(x^{a-1}\)不被取\(0\)值的\(a\)破坏，我们把\(a\)移到等式左边:
\[\frac{(x^a)’}{a}=x^{a-1}\]
接下来注意，当\(a=0\)时，等式右边就是我们想要的\(x^{-1}\)，但等式左边变成了\(0/0\)。这时自然想到用极限的过程代替直接取值，即令\(a\to 0\)，看看等式左边趋于什么极限？这时\(a\)就被理解成一个变量了，我们还是用字母\(y\)代替\(a\)比较好，同时，这里的导数也变成了偏导数：
\[\frac{\partial _x x^y}{y}=x^{y-1}\]
变一下形式理解等式左边：
\[\frac{\partial_x x^y-\partial_x x^0}{y}=x^{y-1}\]
令\(y\to 0\)，得到
\[\left. \partial_y(\partial_x x^y)\right |_{y=0}=x^{-1}\]
如果两个偏导符号可以换序，那么我们就能够得到
\[\partial_x(\left. \partial_y x^y\right|_{y=0})=x^{-1}\]
这样等式左边括号里面的函数就是我们要求的函数。括号里面的函数是什么呢？\(\partial_y x^y\)这是个指数函数的求导，\(\partial_y x^y=\partial_y e^{y\ln x} =x^y\ln x\)，所以括号里的函数正是\(\left. \partial_y x^y\right|_{y=0}=\ln x\)，于是有
\[(\ln x)’=\frac{1}{x}\]
那么上面的两个偏导符号是否可以换序呢？从多元变量分析中得知，当两个二阶偏导数之一在点\((x,0)\)的某个邻域内存在且连续时，两个二阶偏导可以换序。那么计算其中一个二阶偏导数得到（注意：这里只能考察这个二阶偏导，因为另一个二阶偏导在计算的过程中应用了对数函数的导数，这在此时是不合理的。）
\[\partial_y(\partial_x x^y)=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x\]
容易知道它在\((x,0)\)附近都是连续的，这样就保证了这种做法的合理性。

这种方法表面上是兜了一大圈，但它也提供给我们另外的信息：\(y=1/x\)的积分其实没有那么特殊，它是普通幂函数积分公式的一个极限结果。